Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 4 / Задание 36

ГДЗ: Упражнение 36 - § 4 (Арифметический корень натуральной степени) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
Глава: Глава 1
Параграф: § 4 - Арифметический корень натуральной степени
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

36 упражнение:

Вычислить.

1) \( \sqrt[3]{3^{10} \cdot 2^{15}} \)

Используем свойство корня из произведения \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \) и \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \).

  • Шаг 1: Разложим корень на множители: \( \sqrt[3]{3^{10} \cdot 2^{15}} = \sqrt[3]{3^{10}} \cdot \sqrt[3]{2^{15}} \).
  • Шаг 2: Вычислим первый корень, используя дробный показатель: \( \sqrt[3]{3^{10}} = 3^{\frac{10}{3}} = 3^{3 + \frac{1}{3}} = 3^3 \cdot 3^{\frac{1}{3}} = 27 \sqrt[3]{3} \).
  • Шаг 3: Вычислим второй корень: \( \sqrt[3]{2^{15}} = 2^{\frac{15}{3}} = 2^5 = 32 \).
  • Шаг 4: Перемножим результаты: \( 27 \sqrt[3]{3} \cdot 32 = 864 \sqrt[3]{3} \).

Ответ: \( 864\sqrt[3]{3} \).

2) \( \sqrt[3]{2^3 \cdot 5^6} \)

Используем свойство корня из произведения \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \) и \( \sqrt[n]{a^n} = a \).

  • Шаг 1: Разложим корень на множители: \( \sqrt[3]{2^3 \cdot 5^6} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{5^6} \).
  • Шаг 2: Вычислим первый корень: \( \sqrt[3]{2^3} = 2 \).
  • Шаг 3: Вычислим второй корень, используя дробный показатель: \( \sqrt[3]{5^6} = 5^{\frac{6}{3}} = 5^2 = 25 \).
  • Шаг 4: Перемножим результаты: \( 2 \cdot 25 = 50 \).

Ответ: \( 50 \).

3) \( \sqrt[4]{\left(\frac{3}{1}\right)^{12} \cdot 8} \)

В задании, вероятно, опечатка. Предположим, что должно быть \( \sqrt[4]{\left(\frac{3}{1}\right)^{12} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^4} \) или \( \sqrt[4]{\left(\frac{3}{1}\right)^{12} \cdot 8^4} \). Рассмотрим исходный текст: \( \sqrt[4]{\left(\frac{3}{1}\right)^{12} \cdot 8} \).

  • Шаг 1: Упростим подкоренное выражение: \( \sqrt[4]{3^{12} \cdot 8} \).
  • Шаг 2: Выделим множитель со степенью 4: \( \sqrt[4]{3^{12} \cdot 8} = \sqrt[4]{(3^3)^4 \cdot 8} = \sqrt[4]{27^4 \cdot 8} \).
  • Шаг 3: Вынесем множитель из-под знака корня: \( 27 \sqrt[4]{8} \).

Ответ: \( 27\sqrt[4]{8} \).

4) \( \sqrt[10]{4^{30} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{20}} \)

Используем свойство корня из произведения \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \) и \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \).

  • Шаг 1: Разложим корень: \( \sqrt[10]{4^{30}} \cdot \sqrt[10]{\left(\frac{1}{2}\right)^{20}} \).
  • Шаг 2: Вычислим первый корень: \( \sqrt[10]{4^{30}} = 4^{\frac{30}{10}} = 4^3 = 64 \).
  • Шаг 3: Вычислим второй корень: \( \sqrt[10]{\left(\frac{1}{2}\right)^{20}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{20}{10}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \).
  • Шаг 4: Перемножим результаты: \( 64 \cdot \frac{1}{4} = 16 \).

Ответ: \( 16 \).

Что применять при решении

Определение арифметического корня n-й степени
Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Число \(a\) называется подкоренным выражением.
Если \( a \ge 0 \), \( n \ge 2 \) — натуральное число, то \( \sqrt[n]{a} = b \) означает, что \( b \ge 0 \) и \( b^n = a \).
Корень нечётной степени из отрицательного числа
Для любого нечётного натурального числа \( 2k + 1 \) и \( a < 0 \) уравнение \( x^{2k + 1} = a \) имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Корень нечётной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа \( |a| \) следующим равенством:
\( \sqrt[2k + 1]{-a} = -\sqrt[2k + 1]{|a|} \)
Свойства арифметического корня n-й степени (\( a \ge 0, b \ge 0 \))
Основные свойства для преобразования выражений с корнями.
  • 1. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)
  • 2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) (при \( b \ne 0 \))
  • 3. \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
  • 4. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
  • 5. \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \)
Корень чётной степени из степени
Для любого значения \( a \) справедливо равенство, если показатель корня чётный:
\( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), где \( k \) — натуральное число.

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 4

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.