Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 4 / Задание 34

ГДЗ: Упражнение 34 - § 4 (Арифметический корень натуральной степени) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
Глава: Глава 1
Параграф: § 4 - Арифметический корень натуральной степени
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

34 упражнение:

Вычислить.

1) \( \sqrt[3]{5^8 \cdot 7^3} \)

Используем свойство корня из произведения \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \) и \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \).

  • Шаг 1: Разложим корень на множители: \( \sqrt[3]{5^8 \cdot 7^3} = \sqrt[3]{5^8} \cdot \sqrt[3]{7^3} \).
  • Шаг 2: Вычислим второй корень: \( \sqrt[3]{7^3} = 7 \).
  • Шаг 3: Упростим первый корень, выделив множитель со степенью 3: \( \sqrt[3]{5^8} = \sqrt[3]{5^6 \cdot 5^2} = \sqrt[3]{(5^2)^3 \cdot 5^2} \).
  • Шаг 4: Вынесем множитель из-под знака корня: \( \sqrt[3]{(5^2)^3} \cdot \sqrt[3]{5^2} = 5^2 \sqrt[3]{25} = 25 \sqrt[3]{25} \).
  • Шаг 5: Перемножим результаты: \( 25 \sqrt[3]{25} \cdot 7 = 175 \sqrt[3]{25} \).

Ответ: \( 175\sqrt[3]{25} \).

2) \( \sqrt[4]{11^4 \cdot 3^4} \)

Используем свойство корня из произведения \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \) и \( \sqrt[n]{a^n} = a \) для \( a \ge 0 \).

  • Шаг 1: Разложим корень: \( \sqrt[4]{11^4 \cdot 3^4} = \sqrt[4]{11^4} \cdot \sqrt[4]{3^4} \).
  • Шаг 2: Вычислим корни. Так как \( 11^4 \ge 0 \) и \( 3^4 \ge 0 \), то \( \sqrt[4]{11^4} = 11 \) и \( \sqrt[4]{3^4} = 3 \).
  • Шаг 3: Перемножим результаты: \( 11 \cdot 3 = 33 \).

Ответ: \( 33 \).

3) \( \sqrt[5]{(0,2)^6 \cdot 5^5} \)

Используем свойство корня из произведения \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \) и \( \sqrt[n]{a^n} = a \).

  • Шаг 1: Разложим корень: \( \sqrt[5]{(0,2)^6 \cdot 5^5} = \sqrt[5]{(0,2)^6} \cdot \sqrt[5]{5^5} \).
  • Шаг 2: Вычислим второй корень: \( \sqrt[5]{5^5} = 5 \).
  • Шаг 3: Упростим первый корень, выделив множитель со степенью 5: \( \sqrt[5]{(0,2)^6} = \sqrt[5]{(0,2)^5 \cdot 0,2} = \sqrt[5]{(0,2)^5} \cdot \sqrt[5]{0,2} = 0,2 \sqrt[5]{0,2} \).
  • Шаг 4: Перемножим результаты: \( 0,2 \sqrt[5]{0,2} \cdot 5 = (0,2 \cdot 5) \sqrt[5]{0,2} = 1 \cdot \sqrt[5]{0,2} = \sqrt[5]{0,2} \).

Ответ: \( \sqrt[5]{0,2} \).

4) \( \sqrt[7]{\left(\frac{1}{3}\right)^7 \cdot 2^{17}} \)

Используем свойство корня из произведения \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \) и \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \).

  • Шаг 1: Разложим корень: \( \sqrt[7]{\left(\frac{1}{3}\right)^7 \cdot 2^{17}} = \sqrt[7]{\left(\frac{1}{3}\right)^7} \cdot \sqrt[7]{2^{17}} \).
  • Шаг 2: Вычислим первый корень: \( \sqrt[7]{\left(\frac{1}{3}\right)^7} = \frac{1}{3} \).
  • Шаг 3: Упростим второй корень, выделив множитель со степенью 7: \( \sqrt[7]{2^{17}} = \sqrt[7]{2^{14} \cdot 2^3} = \sqrt[7]{(2^2)^7 \cdot 2^3} = 2^2 \sqrt[7]{2^3} = 4 \sqrt[7]{8} \).
  • Шаг 4: Перемножим результаты: \( \frac{1}{3} \cdot 4 \sqrt[7]{8} = \frac{4}{3} \sqrt[7]{8} \).

Ответ: \( \frac{4}{3}\sqrt[7]{8} \).

Что применять при решении

Определение арифметического корня n-й степени
Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Число \(a\) называется подкоренным выражением.
Если \( a \ge 0 \), \( n \ge 2 \) — натуральное число, то \( \sqrt[n]{a} = b \) означает, что \( b \ge 0 \) и \( b^n = a \).
Корень нечётной степени из отрицательного числа
Для любого нечётного натурального числа \( 2k + 1 \) и \( a < 0 \) уравнение \( x^{2k + 1} = a \) имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Корень нечётной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа \( |a| \) следующим равенством:
\( \sqrt[2k + 1]{-a} = -\sqrt[2k + 1]{|a|} \)
Свойства арифметического корня n-й степени (\( a \ge 0, b \ge 0 \))
Основные свойства для преобразования выражений с корнями.
  • 1. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)
  • 2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) (при \( b \ne 0 \))
  • 3. \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
  • 4. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
  • 5. \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \)
Корень чётной степени из степени
Для любого значения \( a \) справедливо равенство, если показатель корня чётный:
\( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), где \( k \) — натуральное число.

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 4

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.