ГДЗ: Упражнение 32 - § 4 (Арифметический корень натуральной степени) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Вычислим каждое слагаемое отдельно.

• Первое слагаемое: \( \sqrt[3]{-125} \). Это корень нечётной степени из отрицательного числа: \( -\sqrt[3]{125} \). Так как \( 5^3 = 125 \), то \( -\sqrt[3]{125} = -5 \).
• Второе слагаемое: \( \sqrt[6]{64} \). Это арифметический корень чётной степени. Так как \( 2^6 = 64 \), то \( \sqrt[6]{64} = 2 \).
• Сложение: \( -5 + 2 = -3 \).

Ответ: \( -3 \).

Вычислим каждое выражение отдельно.

• Первое выражение: \( \sqrt[5]{32} \). Так как \( 2^5 = 32 \), то \( \sqrt[5]{32} = 2 \).
• Второе выражение: \( \sqrt[3]{-216} \). Это корень нечётной степени из отрицательного числа: \( -\sqrt[3]{216} \). Так как \( 6^3 = 216 \), то \( -\sqrt[3]{216} = -6 \).
• Вычисление: Подставим значения: \( 2 - 0,5 \cdot (-6) = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5 \).

Ответ: \( 5 \).

Вычислим каждое выражение отдельно.

• Первое выражение: \( \sqrt[4]{81} \). Так как \( 3^4 = 81 \), то \( \sqrt[4]{81} = 3 \).
• Второе выражение: \( \sqrt[4]{625} \). Так как \( 5^4 = 625 \), то \( \sqrt[4]{625} = 5 \).
• Вычисление: В задании под корнем 3-й степени ошибка. Предполагается, что должно быть \( \sqrt[4]{81} \) или \( \sqrt[3]{-81} \) или \( \sqrt[4]{625} \). Если следовать тексту, то \( -\frac{1}{4}\sqrt[3]{81} + \sqrt[4]{625} \). Если считать, что в первом слагаемом опечатка и должно быть \( \sqrt[4]{81} \) как в других заданиях 4-й степени, то: \( -\frac{1}{4}\sqrt[4]{81} + \sqrt[4]{625} = -\frac{1}{4} \cdot 3 + 5 = -\frac{3}{4} + 5 = 4\frac{1}{4} = 4,25 \).
  Если придерживаться исходного текста: \( -\frac{1}{4}\sqrt[3]{81} + \sqrt[4]{625} = -\frac{1}{4}\sqrt[3]{3^4} + 5 = -\frac{1}{4}\sqrt[3]{3^3 \cdot 3} + 5 = -\frac{3}{4}\sqrt[3]{3} + 5 \).
• Будем считать, что в первом слагаемом опечатка и должно быть \(\sqrt[4]{81}\):
  Вычисление: \( -\frac{1}{4}\sqrt[4]{81} + \sqrt[4]{625} = -\frac{1}{4} \cdot 3 + 5 = -0,75 + 5 = 4,25 \).

Ответ: \( 4,25 \) (при условии, что \( \sqrt[3]{81} \) была опечаткой, и имелось в виду \( \sqrt[4]{81} \)).

Вычислим каждое выражение отдельно. В задании \( \sqrt[4]{10000} - 1 \frac{4}{256} \) не имеет смысла. Вероятнее, должно быть \( \sqrt[4]{10000} - \sqrt[4]{1 \frac{4}{256}} \), но из-за форматирования предположим, что это \( \sqrt[4]{10000} - \frac{1}{4}\sqrt[4]{256} \) или \( \sqrt[4]{10000} - \frac{1}{4} \cdot 256 \).

• Первое выражение: \( \sqrt[4]{10000} \). Так как \( 10^4 = 10000 \), то \( \sqrt[4]{10000} = 10 \).
• Второе выражение: Предположим, что это \( \frac{1}{4}\sqrt[4]{256} \). Так как \( 4^4 = 256 \), то \( \sqrt[4]{256} = 4 \). Тогда \( \frac{1}{4} \cdot 4 = 1 \).
• Вычисление (предположение \( \sqrt[4]{10000} - \frac{1}{4}\sqrt[4]{256} \)): \( 10 - 1 = 9 \).

Если следовать исходному тексту: \( \sqrt[4]{10000} - 1\frac{4}{256} \).
Вычисление (исходный текст): \( 10 - \left(1 + \frac{4}{256}\right) = 10 - 1 - \frac{1}{64} = 9 - \frac{1}{64} = \frac{576 - 1}{64} = \frac{575}{64} \).
Наиболее вероятно, что в задании опечатка, и верным является вариант \( \sqrt[4]{10000} - \frac{1}{4}\sqrt[4]{256} \). Приведем решение для наиболее вероятного варианта.
Решение для \( \sqrt[4]{10000} - \frac{1}{4}\sqrt[4]{256} \): \( 10 - \frac{1}{4} \cdot 4 = 10 - 1 = 9 \).
Ответ: \( 9 \) (при условии, что задание было \( \sqrt[4]{10000} - \frac{1}{4}\sqrt[4]{256} \)).

Вычислим каждое выражение отдельно. В задании, вероятно, опечатка, и должно быть \( \sqrt{0,0001} \) или \( \sqrt[5]{0,00001} \), так как \( \sqrt{0,001} \) не является точным числом. Предположим, что имелось в виду \( \sqrt[5]{1\frac{1}{243}} + \sqrt[4]{0,0001} - \sqrt[4]{0,0016} \) или \( \sqrt[5]{1\frac{1}{243}} + \sqrt{0,0001} - \sqrt[4]{0,0016} \). Возьмем исходный текст, если \( \sqrt{0,001} \) - опечатка и должно быть \( \sqrt[4]{0,0001} \).

• Первое выражение: \( \sqrt[5]{1\frac{1}{243}} = \sqrt[5]{\frac{243+1}{243}} = \sqrt[5]{\frac{244}{243}} \) — не является целым. Предположим, что должно быть \( \sqrt[5]{-\frac{1}{243}} \). Если следовать тексту \( \sqrt[5]{1\frac{1}{243}} \), то оно не упрощается красиво.
• Рассмотрим, что задание было \( \sqrt[5]{-\frac{1}{243}} + \sqrt{0,001} - \sqrt[4]{0,0016} \) :
  \( \sqrt[5]{-\frac{1}{243}} = -\sqrt[5]{\frac{1}{243}} = -\frac{1}{3} \) (т.к. \( 3^5=243 \)).
  \( \sqrt{0,001} \) (оставляем как есть).
  \( \sqrt[4]{0,0016} = 0,2 \) (т.к. \( 0,2^4 = 0,0016 \)).
  Тогда \( -\frac{1}{3} + \sqrt{0,001} - 0,2 \).
• Предположим, что задание было \( \sqrt[5]{-\frac{1}{243}} + \sqrt{0,0001} - \sqrt[4]{0,0016} \):
  \( \sqrt[5]{-\frac{1}{243}} = -\frac{1}{3} \).
  \( \sqrt{0,0001} = 0,01 \) (т.к. \( 0,01^2 = 0,0001 \)).
  \( \sqrt[4]{0,0016} = 0,2 \).
  Тогда \( -\frac{1}{3} + 0,01 - 0,2 \).
• Рассмотрим, что задание было \( \sqrt[5]{1\frac{1}{243}} - \sqrt[4]{0,0001} + \sqrt[4]{0,0016} \):
  \( \sqrt[5]{\frac{244}{243}} - 0,1 + 0,2 \).

Из-за множественных нелогичностей в исходном тексте, приведем решение для наиболее типового варианта \( \sqrt[5]{-\frac{1}{243}} + \sqrt[4]{0,0001} - \sqrt[4]{0,0016} \). В этом случае задача решается красиво:
Вычисление: \( -\frac{1}{3} + 0,1 - 0,2 = -\frac{1}{3} - 0,1 \approx -0,33 - 0,1 = -0,43 \).
В учебнике Алимова эти задания обычно имеют "красивый" ответ, что указывает на опечатку в исходном тексте. Приведем наиболее логичное упрощение с учетом опечатки:
Предположим: \( \sqrt[3]{-1} + \sqrt{0,0001} - \sqrt[4]{0,0016} \) или \( \sqrt[5]{-\frac{1}{243}} + \sqrt[4]{0,0001} - \sqrt[4]{0,0016} \). Возьмем последнее, так как оно ближе по структуре.
\( -\frac{1}{3} + 0,1 - 0,2 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{10} = -\frac{10}{30} - \frac{3}{30} = -\frac{13}{30} \).

Ответ: \( -\frac{13}{30} \) (при условии, что задание было \( \sqrt[5]{-\frac{1}{243}} + \sqrt[4]{0,0001} - \sqrt[4]{0,0016} \)).