Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 4 / Задание 46

ГДЗ: Упражнение 46 - § 4 (Арифметический корень натуральной степени) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
Глава: Глава 1
Параграф: § 4 - Арифметический корень натуральной степени
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

46 упражнение:

Вычислить (46–47).

1) \( \sqrt{9 + \sqrt{17}} \cdot \sqrt{9 - \sqrt{17}} \)

Используем свойство произведения корней: \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} \).

  • Шаг 1: Объединим корни: \( \sqrt{(9 + \sqrt{17}) (9 - \sqrt{17})} \).
  • Шаг 2: Используем формулу разности квадратов \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \): \( \sqrt{9^2 - (\sqrt{17})^2} \).
  • Шаг 3: Вычислим: \( \sqrt{81 - 17} = \sqrt{64} \).
  • Шаг 4: Найдём квадратный корень: \( 8 \).

Ответ: \( 8 \).

2) \( \sqrt[3]{\sqrt{3} + \sqrt{5}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \)

Используем свойство произведения корней: \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \).

  • Шаг 1: Объединим корни: \( \sqrt[3]{(\sqrt{3} + \sqrt{5}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})} \).
  • Шаг 2: Используем формулу разности квадратов. Переставим слагаемые: \( \sqrt[3]{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \sqrt[3]{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} \).
  • Шаг 3: Вычислим: \( \sqrt[3]{5 - 3} = \sqrt[3]{2} \).

Ответ: \( \sqrt[3]{2} \).

3) \( \sqrt[3]{\sqrt{5} + \sqrt{21}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{21} - \sqrt{5}} \)

Используем свойство произведения корней: \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \).

  • Шаг 1: Объединим корни: \( \sqrt[3]{(\sqrt{5} + \sqrt{21}) (\sqrt{21} - \sqrt{5})} \).
  • Шаг 2: Используем формулу разности квадратов. Переставим слагаемые: \( \sqrt[3]{(\sqrt{21} + \sqrt{5}) (\sqrt{21} - \sqrt{5})} = \sqrt[3]{(\sqrt{21})^2 - (\sqrt{5})^2} \).
  • Шаг 3: Вычислим: \( \sqrt[3]{21 - 5} = \sqrt[3]{16} \).
  • Шаг 4: Упростим: \( \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2 \sqrt[3]{2} \).

Ответ: \( 2\sqrt[3]{2} \).

Что применять при решении

Определение арифметического корня n-й степени
Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Число \(a\) называется подкоренным выражением.
Если \( a \ge 0 \), \( n \ge 2 \) — натуральное число, то \( \sqrt[n]{a} = b \) означает, что \( b \ge 0 \) и \( b^n = a \).
Корень нечётной степени из отрицательного числа
Для любого нечётного натурального числа \( 2k + 1 \) и \( a < 0 \) уравнение \( x^{2k + 1} = a \) имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Корень нечётной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа \( |a| \) следующим равенством:
\( \sqrt[2k + 1]{-a} = -\sqrt[2k + 1]{|a|} \)
Свойства арифметического корня n-й степени (\( a \ge 0, b \ge 0 \))
Основные свойства для преобразования выражений с корнями.
  • 1. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)
  • 2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) (при \( b \ne 0 \))
  • 3. \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
  • 4. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
  • 5. \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \)
Корень чётной степени из степени
Для любого значения \( a \) справедливо равенство, если показатель корня чётный:
\( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), где \( k \) — натуральное число.

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 4

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.