Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 4 / Задание 51

ГДЗ: Упражнение 51 - § 4 (Арифметический корень натуральной степени) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
Глава: Глава 1
Параграф: § 4 - Арифметический корень натуральной степени
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

51 упражнение:

Упростить:

1) \( \sqrt[3]{(x-2)^3} \) при: а) \( x \ge 2 \); б) \( x < 2 \).

Корень нечётной степени \( n=3 \) из нечётной степени равен основанию: \( \sqrt[3]{(a)^3} = a \) для любых \( a \).

  • Шаг 1: Упростим выражение: \( \sqrt[3]{(x-2)^3} = x - 2 \).
  • Шаг 2: Условие \( x \ge 2 \) и \( x < 2 \) не влияет на результат.

Ответ: \( x - 2 \).

2) \( \sqrt[4]{(3-x)^4} \) при: а) \( x \le 3 \); б) \( x > 3 \).

Корень чётной степени \( n=4 \) из чётной степени равен модулю основания: \( \sqrt[4]{(a)^4} = |a| \).

  • Шаг 1: Упростим выражение: \( \sqrt[4]{(3-x)^4} = |3 - x| \).
  • Шаг 2: Рассмотрим случай а) \( x \le 3 \). Тогда \( 3 - x \ge 0 \), и \( |3 - x| = 3 - x \).
  • Шаг 3: Рассмотрим случай б) \( x > 3 \). Тогда \( 3 - x < 0 \), и \( |3 - x| = -(3 - x) = x - 3 \).

Ответ: а) \( 3 - x \); б) \( x - 3 \).

3) \( \sqrt[4]{(x+6)^4} + \sqrt[4]{(x-3)^4} \), если \( -1 < x < 2 \).

Используем свойство \( \sqrt[4]{a^4} = |a| \).

  • Шаг 1: Упростим выражение: \( \sqrt[4]{(x+6)^4} + \sqrt[4]{(x-3)^4} = |x + 6| + |x - 3| \).
  • Шаг 2: Рассмотрим условие \( -1 < x < 2 \).
    Если \( -1 < x < 2 \), то \( x + 6 \) положительно (например, \( -1 + 6 = 5 \), \( 2 + 6 = 8 \)). Значит, \( |x + 6| = x + 6 \).
    Если \( -1 < x < 2 \), то \( x - 3 \) отрицательно (например, \( -1 - 3 = -4 \), \( 2 - 3 = -1 \)). Значит, \( |x - 3| = -(x - 3) = 3 - x \).
  • Шаг 3: Сложим упрощённые выражения: \( (x + 6) + (3 - x) = x + 6 + 3 - x = 9 \).

Ответ: \( 9 \).

4) \( \sqrt[6]{(2 x + 1)^6} - \sqrt[4]{(4 + x)^4} \), если \( -3 < x < -1 \).

Используем свойство \( \sqrt[n]{a^n} = |a| \) для чётного \( n \).

  • Шаг 1: Упростим выражение: \( \sqrt[6]{(2 x + 1)^6} - \sqrt[4]{(4 + x)^4} = |2 x + 1| - |4 + x| \).
  • Шаг 2: Рассмотрим условие \( -3 < x < -1 \).
    Если \( -3 < x < -1 \), то \( 2 x + 1 \) отрицательно (например, \( x = -2 \): \( 2(-2) + 1 = -3 \)). Значит, \( |2 x + 1| = -(2 x + 1) = -2 x - 1 \).
    Если \( -3 < x < -1 \), то \( 4 + x \) положительно (например, \( x = -2 \): \( 4 + (-2) = 2 \)). Значит, \( |4 + x| = 4 + x \).
  • Шаг 3: Вычтем упрощённые выражения: \( (-2 x - 1) - (4 + x) = -2 x - 1 - 4 - x = -3 x - 5 \).

Ответ: \( -3 x - 5 \).

Что применять при решении

Определение арифметического корня n-й степени
Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Число \(a\) называется подкоренным выражением.
Если \( a \ge 0 \), \( n \ge 2 \) — натуральное число, то \( \sqrt[n]{a} = b \) означает, что \( b \ge 0 \) и \( b^n = a \).
Корень нечётной степени из отрицательного числа
Для любого нечётного натурального числа \( 2k + 1 \) и \( a < 0 \) уравнение \( x^{2k + 1} = a \) имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Корень нечётной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа \( |a| \) следующим равенством:
\( \sqrt[2k + 1]{-a} = -\sqrt[2k + 1]{|a|} \)
Свойства арифметического корня n-й степени (\( a \ge 0, b \ge 0 \))
Основные свойства для преобразования выражений с корнями.
  • 1. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)
  • 2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) (при \( b \ne 0 \))
  • 3. \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
  • 4. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
  • 5. \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \)
Корень чётной степени из степени
Для любого значения \( a \) справедливо равенство, если показатель корня чётный:
\( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), где \( k \) — натуральное число.

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 4

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.