Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 4 / Задание 52

ГДЗ: Упражнение 52 - § 4 (Арифметический корень натуральной степени) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
Глава: Глава 1
Параграф: § 4 - Арифметический корень натуральной степени
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

52 упражнение:

Сравнить значения выражений:

1) \( \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{30} \) и \( \sqrt[3]{63} \)

Сравним кубы этих выражений, поскольку функция \( f(x) = x^3 \) монотонно возрастает.

  • Шаг 1: Возведём в куб первое выражение, используя формулу \( (a+b)^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3 \).
    Пусть \( A = \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{30} \).
    \( A^3 = (\sqrt[3]{3})^3 + 3 (\sqrt[3]{3})^2 \sqrt[3]{30} + 3 \sqrt[3]{3} (\sqrt[3]{30})^2 + (\sqrt[3]{30})^3 \)
    \( A^3 = 3 + 3 \sqrt[3]{9 \cdot 30} + 3 \sqrt[3]{3 \cdot 900} + 30 \)
    \( A^3 = 33 + 3 \sqrt[3]{270} + 3 \sqrt[3]{2700} \).
  • Шаг 2: Возведём в куб второе выражение: \( (\sqrt[3]{63})^3 = 63 \).
  • Шаг 3: Сравним. \( 33 + 3 \sqrt[3]{270} + 3 \sqrt[3]{2700} \) явно больше 63, так как \( 3 \sqrt[3]{270} > 0 \) и \( 3 \sqrt[3]{2700} > 0 \).

Ответ: \( \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{30} > \sqrt[3]{63} \).

2) \( \sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{15} \) и \( \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{28} \)

Сравним кубы этих выражений. Пусть \( A = \sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{15} \) и \( B = \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{28} \).

  • Шаг 1: Возведём в куб:
    \( A^3 = 7 + 3 \sqrt[3]{7^2 \cdot 15} + 3 \sqrt[3]{7 \cdot 15^2} + 15 = 22 + 3 \sqrt[3]{735} + 3 \sqrt[3]{1575} \).
    \( B^3 = 10 + 3 \sqrt[3]{10^2 \cdot 28} + 3 \sqrt[3]{10 \cdot 28^2} + 28 = 38 + 3 \sqrt[3]{2800} + 3 \sqrt[3]{7840} \).
  • Шаг 2: Сравним аргументы корней: \( 735 \) и \( 2800 \), \( 1575 \) и \( 7840 \). Очевидно, что \( B^3 \) больше.

Ответ: \( \sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{15} < \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{28} \).

Что применять при решении

Определение арифметического корня n-й степени
Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Число \(a\) называется подкоренным выражением.
Если \( a \ge 0 \), \( n \ge 2 \) — натуральное число, то \( \sqrt[n]{a} = b \) означает, что \( b \ge 0 \) и \( b^n = a \).
Корень нечётной степени из отрицательного числа
Для любого нечётного натурального числа \( 2k + 1 \) и \( a < 0 \) уравнение \( x^{2k + 1} = a \) имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Корень нечётной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа \( |a| \) следующим равенством:
\( \sqrt[2k + 1]{-a} = -\sqrt[2k + 1]{|a|} \)
Свойства арифметического корня n-й степени (\( a \ge 0, b \ge 0 \))
Основные свойства для преобразования выражений с корнями.
  • 1. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)
  • 2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) (при \( b \ne 0 \))
  • 3. \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
  • 4. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
  • 5. \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \)
Корень чётной степени из степени
Для любого значения \( a \) справедливо равенство, если показатель корня чётный:
\( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), где \( k \) — натуральное число.

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 4

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.