Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 4 / Задание 31

ГДЗ: Упражнение 31 - § 4 (Арифметический корень натуральной степени) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
Глава: Глава 1
Параграф: § 4 - Арифметический корень натуральной степени
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

31 упражнение:

Решить уравнение.

1) \( x^4 = 256 \)

Уравнение вида \( x^n = a \), где \( n \) — чётное. Если \( a > 0 \), то уравнение имеет два действительных корня: \( x = \pm \sqrt[n]{a} \).

  • Шаг 1: Определяем тип уравнения. \( x^4 = 256 \) — корень чётной степени. \( 256 > 0 \), поэтому есть два корня.
  • Шаг 2: Находим корень: \( x = \pm \sqrt[4]{256} \).
  • Шаг 3: Вычисляем арифметический корень: \( \sqrt[4]{256} = 4 \), так как \( 4^4 = 256 \).
  • Шаг 4: Записываем два корня: \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = -4 \).

Ответ: \( x_1 = 4 \), \( x_2 = -4 \).

2) \( x^5 = -\frac{1}{32} \)

Уравнение вида \( x^n = a \), где \( n \) — нечётное. Оно имеет один действительный корень: \( x = \sqrt[n]{a} \).

  • Шаг 1: Определяем тип уравнения. \( x^5 = -\frac{1}{32} \) — корень нечётной степени. Корень нечётной степени из отрицательного числа можно вычислить.
  • Шаг 2: Находим корень: \( x = \sqrt[5]{-\frac{1}{32}} \).
  • Шаг 3: Используем свойство \( \sqrt[2k+1]{-a} = -\sqrt[2k+1]{|a|} \): \( x = -\sqrt[5]{\frac{1}{32}} \).
  • Шаг 4: Вычисляем арифметический корень: \( \sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{1}{2} \), так как \( \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32} \).
  • Шаг 5: Записываем результат: \( x = -\frac{1}{2} \).

Ответ: \( x = -\frac{1}{2} \).

3) \( 5x^5 = -160 \)

Сначала преобразуем уравнение к виду \( x^n = a \).

  • Шаг 1: Разделим обе части уравнения на 5: \( x^5 = \frac{-160}{5} \).
  • Шаг 2: Вычислим правую часть: \( x^5 = -32 \).
  • Шаг 3: Находим корень нечётной степени: \( x = \sqrt[5]{-32} \).
  • Шаг 4: Используем свойство корня нечётной степени: \( x = -\sqrt[5]{32} \).
  • Шаг 5: Вычисляем арифметический корень: \( \sqrt[5]{32} = 2 \), так как \( 2^5 = 32 \).
  • Шаг 6: Записываем результат: \( x = -2 \).

Ответ: \( x = -2 \).

4) \( 2x^6 = 128 \)

Сначала преобразуем уравнение к виду \( x^n = a \).

  • Шаг 1: Разделим обе части уравнения на 2: \( x^6 = \frac{128}{2} \).
  • Шаг 2: Вычислим правую часть: \( x^6 = 64 \).
  • Шаг 3: Находим корень чётной степени. \( 64 > 0 \), поэтому есть два корня: \( x = \pm \sqrt[6]{64} \).
  • Шаг 4: Вычисляем арифметический корень: \( \sqrt[6]{64} = 2 \), так как \( 2^6 = 64 \).
  • Шаг 5: Записываем два корня: \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -2 \).

Ответ: \( x_1 = 2 \), \( x_2 = -2 \).

Что применять при решении

Определение арифметического корня n-й степени
Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Число \(a\) называется подкоренным выражением.
Если \( a \ge 0 \), \( n \ge 2 \) — натуральное число, то \( \sqrt[n]{a} = b \) означает, что \( b \ge 0 \) и \( b^n = a \).
Корень нечётной степени из отрицательного числа
Для любого нечётного натурального числа \( 2k + 1 \) и \( a < 0 \) уравнение \( x^{2k + 1} = a \) имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Корень нечётной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа \( |a| \) следующим равенством:
\( \sqrt[2k + 1]{-a} = -\sqrt[2k + 1]{|a|} \)
Свойства арифметического корня n-й степени (\( a \ge 0, b \ge 0 \))
Основные свойства для преобразования выражений с корнями.
  • 1. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)
  • 2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) (при \( b \ne 0 \))
  • 3. \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
  • 4. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
  • 5. \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \)
Корень чётной степени из степени
Для любого значения \( a \) справедливо равенство, если показатель корня чётный:
\( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), где \( k \) — натуральное число.

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 4

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.