Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 4 / Задание 40

ГДЗ: Упражнение 40 - § 4 (Арифметический корень натуральной степени) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23

Глава:	Глава 1
Параграф:	§ 4 - Арифметический корень натуральной степени
Учебник:	Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор:	Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год:	2025
Издание:

40 упражнение:

Вычислить.

1) \( \sqrt[4]{324} : \sqrt[4]{4} \)

Используем свойство частного корней: \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \).

Шаг 1: Объединим корни: \( \sqrt[4]{\frac{324}{4}} = \sqrt[4]{81} \).
Шаг 2: Вычислим корень: \( \sqrt[4]{81} = 3 \), так как \( 3^4 = 81 \).

Ответ: \( 3 \).

2) \( \sqrt[3]{128} : \sqrt[3]{2000} \)

Используем свойство частного корней: \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \).

Шаг 1: Объединим корни: \( \sqrt[3]{\frac{128}{2000}} \).
Шаг 2: Сократим дробь. Разделим числитель и знаменатель на 8: \( \frac{128}{2000} = \frac{16}{250} \). Разделим на 2: \( \frac{8}{125} \).
Шаг 3: Вычислим корень: \( \sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{2}{5} \).

Ответ: \( \frac{2}{5} \).

3) \( \frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}} \)

Используем свойство частного корней: \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \).

Шаг 1: Объединим корни: \( \sqrt[3]{\frac{16}{2}} = \sqrt[3]{8} \).
Шаг 2: Вычислим корень: \( \sqrt[3]{8} = 2 \).

Ответ: \( 2 \).

4) \( \frac{\sqrt[4]{256}}{\sqrt[4]{16}} \)

Используем свойство частного корней: \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \).

Шаг 1: Объединим корни: \( \sqrt[4]{\frac{256}{16}} = \sqrt[4]{16} \).
Шаг 2: Вычислим корень: \( \sqrt[4]{16} = 2 \).

Ответ: \( 2 \).

5) \( \frac{\sqrt{25 \cdot 45}}{\sqrt{5}} \)

Используем свойство частного корней: \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \).

Шаг 1: Объединим корни: \( \sqrt{\frac{25 \cdot 45}{5}} \).
Шаг 2: Сократим: \( \sqrt{25 \cdot 9} = \sqrt{225} \).
Шаг 3: Вычислим корень: \( \sqrt{225} = 15 \).

Ответ: \( 15 \).

6) \( \frac{\sqrt[3]{635 \cdot 25}}{\sqrt[3]{5}} \)

В задании, вероятно, опечатка, так как \( 635 \) не делится на 5, чтобы получить красивый кубический корень. Вероятнее всего, должно быть \( 625 \).

Шаг 1 (для \( 625 \)): Объединим корни: \( \sqrt[3]{\frac{625 \cdot 25}{5}} = \sqrt[3]{125 \cdot 25} = \sqrt[3]{3125} \) — некрасивый ответ.
Предположим, что это было \( \frac{\sqrt[3]{625 \cdot 5}}{\sqrt[3]{5}} \) (это типовой пример)
Шаг 1 (для \( 625 \cdot 5 \)): Объединим корни: \( \sqrt[3]{\frac{625 \cdot 5}{5}} = \sqrt[3]{625} \). \( \sqrt[3]{625} = \sqrt[3]{125 \cdot 5} = 5 \sqrt[3]{5} \) — некрасивый.
Рассмотрим, что задание было \( \frac{\sqrt[3]{625 \cdot 5}}{\sqrt[3]{5}} \) (типовой пример): \( \sqrt[3]{\frac{625 \cdot 5}{5}} = \sqrt[3]{625} = 5\sqrt[3]{5} \).
Будем следовать исходному тексту: \( \sqrt[3]{\frac{635 \cdot 25}{5}} = \sqrt[3]{127 \cdot 25} = \sqrt[3]{3175} \) — некрасивый.

Приведем решение по исходному тексту, оставив в некрасивом виде: \( \sqrt[3]{3175} \). Поскольку это явно "некрасивый" ответ, то предположим, что задание было \( \frac{\sqrt[3]{625 \cdot 25}}{\sqrt[3]{5}} \).
Вычисление (предположение): \( \sqrt[3]{\frac{625 \cdot 25}{5}} = \sqrt[3]{125 \cdot 25} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 5^2} = 5 \sqrt[3]{25} \).

Ответ: \( 5\sqrt[3]{25} \) (при условии, что задание было \( \frac{\sqrt[3]{625 \cdot 25}}{\sqrt[3]{5}} \)).

Что применять при решении

Определение арифметического корня n-й степени

Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Число \(a\) называется подкоренным выражением.

Если \( a \ge 0 \), \( n \ge 2 \) — натуральное число, то \( \sqrt[n]{a} = b \) означает, что \( b \ge 0 \) и \( b^n = a \).

Корень нечётной степени из отрицательного числа

Для любого нечётного натурального числа \( 2k + 1 \) и \( a < 0 \) уравнение \( x^{2k + 1} = a \) имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Корень нечётной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа \( |a| \) следующим равенством:

\( \sqrt[2k + 1]{-a} = -\sqrt[2k + 1]{|a|} \)

Свойства арифметического корня n-й степени (\( a \ge 0, b \ge 0 \))

Основные свойства для преобразования выражений с корнями.

1. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)
2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) (при \( b \ne 0 \))
3. \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
4. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
5. \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \)

Корень чётной степени из степени

Для любого значения \( a \) справедливо равенство, если показатель корня чётный:

\( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), где \( k \) — натуральное число.

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность

Готовый файл Word

15-30 страниц

Список источников по ГОСТ

Оформление по ГОСТ

Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 4

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.