Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 4 / Задание 50

ГДЗ: Упражнение 50 - § 4 (Арифметический корень натуральной степени) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
Глава: Глава 1
Параграф: § 4 - Арифметический корень натуральной степени
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

50 упражнение:

Вычислить:

1) \( \frac{\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{9}}{\sqrt{3}} \)

В задании, вероятно, опечатка, так как \( \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{9} \) не делится на \( \sqrt{3} \) красиво. Предположим, что это \( \frac{\sqrt[6]{3} - \sqrt[6]{9}}{\sqrt[3]{3}} \) (типовой пример).

  • Шаг 1 (по исходному тексту): Выразим через степени: \( \frac{3^{\frac{1}{3}} - 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{1}{2}}} \).
  • Шаг 2: Разделим числитель на знаменатель: \( 3^{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}} - 3^{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}} \).
  • Шаг 3: Вычислим показатели: \( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2 - 3}{6} = -\frac{1}{6} \). \( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4 - 3}{6} = \frac{1}{6} \).
  • Шаг 4: Запишем результат: \( 3^{-\frac{1}{6}} - 3^{\frac{1}{6}} = \frac{1}{\sqrt[6]{3}} - \sqrt[6]{3} \).

Ответ: \( \frac{1}{\sqrt[6]{3}} - \sqrt[6]{3} \).

2) \( \frac{\sqrt[3]{7} - \sqrt[7]{343}}{\sqrt[6]{3}} \)

Используем свойство корня \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \). Представим 343 как \( 7^3 \).

  • Шаг 1: Представим выражение в виде степеней: \( \frac{7^{\frac{1}{3}} - \sqrt[7]{7^3}}{3^{\frac{1}{6}}} = \frac{7^{\frac{1}{3}} - 7^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{1}{6}}} \).
  • Шаг 2: Разделим числитель на знаменатель: \( 7^{\frac{1}{3}} 3^{-\frac{1}{6}} - 7^{\frac{3}{7}} 3^{-\frac{1}{6}} \).

Ответ: \( 7^{\frac{1}{3}} 3^{-\frac{1}{6}} - 7^{\frac{3}{7}} 3^{-\frac{1}{6}} \).

3) \( \frac{\sqrt[3]{9} + \sqrt[6]{6} + \sqrt[3]{4}}{(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})} \)

В задании, вероятно, опечатка, должно быть \( \frac{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}} \).

  • Шаг 1 (предположение): Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2} \). Это не подходит.
  • Шаг 1 (правильный путь): Обратим внимание на числитель: \( \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{3^2} + \sqrt[3]{3 \cdot 2} + \sqrt[3]{2^2} = (\sqrt[3]{3})^2 + \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2 \). Это похоже на неполный квадрат суммы.
  • Шаг 2: Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю: \( \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2} \). Формула разности кубов: \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \). Числитель по исходному тексту — это неполный квадрат суммы, а знаменатель — разность.
  • Шаг 3: Будем следовать исходному тексту, но предполагая, что числитель — неполный квадрат разности, а знаменатель — разность кубов.

Ответ: Оставим по исходному тексту. \( \frac{\sqrt[3]{9} + \sqrt[6]{6} + \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}} \) — не упрощается.

Что применять при решении

Определение арифметического корня n-й степени
Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Число \(a\) называется подкоренным выражением.
Если \( a \ge 0 \), \( n \ge 2 \) — натуральное число, то \( \sqrt[n]{a} = b \) означает, что \( b \ge 0 \) и \( b^n = a \).
Корень нечётной степени из отрицательного числа
Для любого нечётного натурального числа \( 2k + 1 \) и \( a < 0 \) уравнение \( x^{2k + 1} = a \) имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Корень нечётной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа \( |a| \) следующим равенством:
\( \sqrt[2k + 1]{-a} = -\sqrt[2k + 1]{|a|} \)
Свойства арифметического корня n-й степени (\( a \ge 0, b \ge 0 \))
Основные свойства для преобразования выражений с корнями.
  • 1. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)
  • 2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) (при \( b \ne 0 \))
  • 3. \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
  • 4. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
  • 5. \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \)
Корень чётной степени из степени
Для любого значения \( a \) справедливо равенство, если показатель корня чётный:
\( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), где \( k \) — натуральное число.

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 4

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.