Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 4 / Задание 48

ГДЗ: Упражнение 48 - § 4 (Арифметический корень натуральной степени) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
Глава: Глава 1
Параграф: § 4 - Арифметический корень натуральной степени
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

48 упражнение:

Упростить выражение:

1) \( \sqrt[3]{2 a^2 b} \cdot \sqrt[3]{4 a b^2} \cdot \sqrt[3]{27 b} \)

Используем свойство произведения корней: \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \).

  • Шаг 1: Объединим корни: \( \sqrt[3]{2 a^2 b \cdot 4 a b^2 \cdot 27 b} \).
  • Шаг 2: Упростим подкоренное выражение: \( \sqrt[3]{(2 \cdot 4 \cdot 27) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (b \cdot b^2 \cdot b)} = \sqrt[3]{216 a^3 b^4} \).
  • Шаг 3: Разложим корень: \( \sqrt[3]{216} \cdot \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{b^4} \).
  • Шаг 4: Вычислим: \( \sqrt[3]{216} = 6 \). \( \sqrt[3]{a^3} = a \). \( \sqrt[3]{b^4} = \sqrt[3]{b^3 \cdot b} = b \sqrt[3]{b} \). (По сноске \({}^1\) \( a, b > 0 \)).
  • Шаг 5: Перемножим: \( 6 a b \sqrt[3]{b} \).

Ответ: \( 6 a b \sqrt[3]{b} \).

2) \( \sqrt[4]{a b c} \cdot \sqrt[4]{a^3 b^2 c} \cdot \sqrt[4]{b c^2} \)

Используем свойство произведения корней: \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \).

  • Шаг 1: Объединим корни: \( \sqrt[4]{a b c \cdot a^3 b^2 c \cdot b c^2} \).
  • Шаг 2: Упростим подкоренное выражение: \( \sqrt[4]{a^{1+3} b^{1+2+1} c^{1+1+2}} = \sqrt[4]{a^4 b^4 c^4} \).
  • Шаг 3: Разложим корень: \( \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{b^4} \cdot \sqrt[4]{c^4} \).
  • Шаг 4: Вычислим. Поскольку \( n=4 \) — чётный, а по сноске \({}^1\) \( a, b, c > 0 \), модуль не нужен: \( a \cdot b \cdot c \).

Ответ: \( a b c \).

Что применять при решении

Определение арифметического корня n-й степени
Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Число \(a\) называется подкоренным выражением.
Если \( a \ge 0 \), \( n \ge 2 \) — натуральное число, то \( \sqrt[n]{a} = b \) означает, что \( b \ge 0 \) и \( b^n = a \).
Корень нечётной степени из отрицательного числа
Для любого нечётного натурального числа \( 2k + 1 \) и \( a < 0 \) уравнение \( x^{2k + 1} = a \) имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Корень нечётной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа \( |a| \) следующим равенством:
\( \sqrt[2k + 1]{-a} = -\sqrt[2k + 1]{|a|} \)
Свойства арифметического корня n-й степени (\( a \ge 0, b \ge 0 \))
Основные свойства для преобразования выражений с корнями.
  • 1. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)
  • 2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) (при \( b \ne 0 \))
  • 3. \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
  • 4. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
  • 5. \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \)
Корень чётной степени из степени
Для любого значения \( a \) справедливо равенство, если показатель корня чётный:
\( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), где \( k \) — натуральное число.

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 4

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.