Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 4 / Задание 30

ГДЗ: Упражнение 30 - § 4 (Арифметический корень натуральной степени) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
Глава: Глава 1
Параграф: § 4 - Арифметический корень натуральной степени
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

30 упражнение:

Вычислить.

1) \( \sqrt[3]{-8} \)

Используем свойство корня нечётной степени из отрицательного числа: \( \sqrt[2k+1]{-a} = -\sqrt[2k+1]{|a|} \). Здесь \( 2k+1 = 3 \) (нечётная степень) и \( -a = -8 \), то есть \( a = 8 \).

  • Шаг 1: Применим свойство: \( \sqrt[3]{-8} = -\sqrt[3]{|-8|} = -\sqrt[3]{8} \).
  • Шаг 2: Вычислим арифметический корень: \( \sqrt[3]{8} = 2 \), так как \( 2^3 = 8 \).
  • Шаг 3: Получим окончательный результат: \( -2 \).

Ответ: \( -2 \).

2) \( \sqrt[15]{-1} \)

Используем свойство корня нечётной степени из отрицательного числа: \( \sqrt[2k+1]{-a} = -\sqrt[2k+1]{|a|} \). Здесь \( 2k+1 = 15 \) (нечётная степень) и \( -a = -1 \), то есть \( a = 1 \).

  • Шаг 1: Применим свойство: \( \sqrt[15]{-1} = -\sqrt[15]{|-1|} = -\sqrt[15]{1} \).
  • Шаг 2: Вычислим арифметический корень: \( \sqrt[15]{1} = 1 \), так как \( 1^{15} = 1 \).
  • Шаг 3: Получим окончательный результат: \( -1 \).

Ответ: \( -1 \).

3) \( \sqrt[3]{-\frac{1}{27}} \)

Используем свойство корня нечётной степени из отрицательного числа: \( \sqrt[2k+1]{-a} = -\sqrt[2k+1]{|a|} \). Здесь \( 2k+1 = 3 \) (нечётная степень) и \( -a = -\frac{1}{27} \), то есть \( a = \frac{1}{27} \).

  • Шаг 1: Применим свойство: \( \sqrt[3]{-\frac{1}{27}} = -\sqrt[3]{\left|-\frac{1}{27}\right|} = -\sqrt[3]{\frac{1}{27}} \).
  • Шаг 2: Вычислим арифметический корень: \( \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3} \), так как \( \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27} \).
  • Шаг 3: Получим окончательный результат: \( -\frac{1}{3} \).

Ответ: \( -\frac{1}{3} \).

4) \( \sqrt[4]{-1024} \)

Здесь показатель корня \( n=4 \) — чётное число, а подкоренное выражение \( -1024 \) — отрицательное число. Арифметический корень чётной степени определён только для неотрицательных чисел.

  • Шаг 1: Определяем тип корня и знак подкоренного выражения. Корень чётной степени из отрицательного числа не определён в области действительных чисел.

Ответ: Выражение не имеет смысла в области действительных чисел.

5) \( \sqrt[5]{-34^3} \)

Используем свойство корня нечётной степени из отрицательного числа: \( \sqrt[2k+1]{-a} = -\sqrt[2k+1]{|a|} \).

  • Шаг 1: Заметим, что \( -34^3 = -(34^3) \). Показатель корня \( n=5 \) — нечётный. \( \sqrt[5]{-34^3} = -\sqrt[5]{|34^3|} = -\sqrt[5]{34^3} \).

Ответ: \( -\sqrt[5]{34^3} \).

6) \( \sqrt[6]{-8^7} \)

Здесь показатель корня \( n=6 \) — чётное число. Подкоренное выражение \( -8^7 \) является отрицательным числом (поскольку \( 8^7 \) — положительное, а перед ним стоит минус). Арифметический корень чётной степени определён только для неотрицательных чисел.

  • Шаг 1: Определяем тип корня и знак подкоренного выражения. Корень чётной степени из отрицательного числа не определён в области действительных чисел.

Ответ: Выражение не имеет смысла в области действительных чисел.

Что применять при решении

Определение арифметического корня n-й степени
Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Число \(a\) называется подкоренным выражением.
Если \( a \ge 0 \), \( n \ge 2 \) — натуральное число, то \( \sqrt[n]{a} = b \) означает, что \( b \ge 0 \) и \( b^n = a \).
Корень нечётной степени из отрицательного числа
Для любого нечётного натурального числа \( 2k + 1 \) и \( a < 0 \) уравнение \( x^{2k + 1} = a \) имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Корень нечётной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа \( |a| \) следующим равенством:
\( \sqrt[2k + 1]{-a} = -\sqrt[2k + 1]{|a|} \)
Свойства арифметического корня n-й степени (\( a \ge 0, b \ge 0 \))
Основные свойства для преобразования выражений с корнями.
  • 1. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)
  • 2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) (при \( b \ne 0 \))
  • 3. \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
  • 4. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
  • 5. \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \)
Корень чётной степени из степени
Для любого значения \( a \) справедливо равенство, если показатель корня чётный:
\( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), где \( k \) — натуральное число.

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 4

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.