Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 4 / Задание 42

ГДЗ: Упражнение 42 - § 4 (Арифметический корень натуральной степени) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
Глава: Глава 1
Параграф: § 4 - Арифметический корень натуральной степени
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

42 упражнение:

Вычислить (42–43).

1) \( \sqrt[6]{(7^2)^3} \)

Используем свойство степени степени: \( (a^m)^n = a^{mn} \) и свойство \( \sqrt[n]{a^n} = a \) для \( a \ge 0 \).

  • Шаг 1: Упростим подкоренное выражение: \( \sqrt[6]{7^{2 \cdot 3}} = \sqrt[6]{7^6} \).
  • Шаг 2: Вычислим корень: \( \sqrt[6]{7^6} = |7| = 7 \).

Ответ: \( 7 \).

2) \( \sqrt[6]{(9)^{-3}} \)

Используем свойство отрицательного показателя степени \( a^{-m} = \frac{1}{a^m} \), свойство корня \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \) и свойство степени степени.

  • Шаг 1: Упростим подкоренное выражение: \( \sqrt[6]{9^{-3}} = \sqrt[6]{\frac{1}{9^3}} \).
  • Шаг 2: Преобразуем 9 к степени: \( \sqrt[6]{\frac{1}{(3^2)^3}} = \sqrt[6]{\frac{1}{3^6}} \).
  • Шаг 3: Вычислим корень: \( \sqrt[6]{\frac{1}{3^6}} = \frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{3^6}} = \frac{1}{3} \).

Ответ: \( \frac{1}{3} \).

3) \( \sqrt[10]{(3^2)^{32}} \)

Используем свойство степени степени: \( (a^m)^n = a^{mn} \), и \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \).

  • Шаг 1: Упростим подкоренное выражение: \( \sqrt[10]{3^{2 \cdot 32}} = \sqrt[10]{3^{64}} \).
  • Шаг 2: Выразим корень через дробный показатель: \( 3^{\frac{64}{10}} = 3^{\frac{32}{5}} \).
  • Шаг 3: Выделим целую часть: \( 3^{\frac{30}{5} + \frac{2}{5}} = 3^6 \cdot 3^{\frac{2}{5}} \).
  • Шаг 4: Переведём обратно в корень: \( 729 \sqrt[5]{3^2} = 729 \sqrt[5]{9} \).

Ответ: \( 729\sqrt[5]{9} \).

4) \( \sqrt[4]{(16)^{-4}} \)

Используем свойство отрицательного показателя степени \( a^{-m} = \frac{1}{a^m} \) и свойство корня \( \sqrt[n]{a^n} = a \) для \( a \ge 0 \).

  • Шаг 1: Упростим подкоренное выражение: \( \sqrt[4]{16^{-4}} = \sqrt[4]{\frac{1}{16^4}} \).
  • Шаг 2: Вычислим корень: \( \sqrt[4]{\frac{1}{16^4}} = \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{16^4}} = \frac{1}{|16|} = \frac{1}{16} \).

Ответ: \( \frac{1}{16} \).

Что применять при решении

Определение арифметического корня n-й степени
Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Число \(a\) называется подкоренным выражением.
Если \( a \ge 0 \), \( n \ge 2 \) — натуральное число, то \( \sqrt[n]{a} = b \) означает, что \( b \ge 0 \) и \( b^n = a \).
Корень нечётной степени из отрицательного числа
Для любого нечётного натурального числа \( 2k + 1 \) и \( a < 0 \) уравнение \( x^{2k + 1} = a \) имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Корень нечётной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа \( |a| \) следующим равенством:
\( \sqrt[2k + 1]{-a} = -\sqrt[2k + 1]{|a|} \)
Свойства арифметического корня n-й степени (\( a \ge 0, b \ge 0 \))
Основные свойства для преобразования выражений с корнями.
  • 1. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)
  • 2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) (при \( b \ne 0 \))
  • 3. \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
  • 4. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
  • 5. \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \)
Корень чётной степени из степени
Для любого значения \( a \) справедливо равенство, если показатель корня чётный:
\( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), где \( k \) — натуральное число.

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 4

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.