Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 4 / Задание 28

ГДЗ: Упражнение 28 - § 4 (Арифметический корень натуральной степени) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
Глава: Глава 1
Параграф: § 4 - Арифметический корень натуральной степени
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

28 упражнение:

Вычислить (28–30).

1) \( \sqrt[6]{3^6} \)

Используем свойство \( \sqrt[n]{a^n} = |a| \) для чётного \( n \). Здесь \( n=6 \) — чётное число, а \( a = 3 \).

  • Шаг 1: Применим свойство корня чётной степени: \( \sqrt[6]{3^6} = |3| \).
  • Шаг 2: Вычислим модуль: \( |3| = 3 \).

Ответ: \( 3 \).

2) \( \sqrt[12]{6^{42}} \)

Используем свойство \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \) и \( \sqrt[n]{a^n} = a \) для преобразования корня.

  • Шаг 1: Представим показатели в виде произведения, чтобы сократить показатель корня и подкоренного выражения. Наибольший общий делитель чисел 12 и 42 — 6. \( \sqrt[12]{6^{42}} = \sqrt[6 \cdot 2]{6^{6 \cdot 7}} \).
  • Шаг 2: Сократим показатель корня и подкоренного выражения на 6: \( \sqrt[2]{6^7} = \sqrt{6^7} \).
  • Шаг 3: Выделим из подкоренного выражения наибольшую степень, кратную 2: \( \sqrt{6^6 \cdot 6^1} \).
  • Шаг 4: Применим свойство корня из произведения \( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \sqrt{b} \): \( \sqrt{6^6} \cdot \sqrt{6} \).
  • Шаг 5: Вычислим корень \( \sqrt{6^6} = |6^3| = 6^3 \): \( 6^3 \sqrt{6} = 216 \sqrt{6} \).

Ответ: \( 216\sqrt{6} \).

3) \( \sqrt[4]{\left(\frac{1}{25}\right)^2} \)

Используем свойство \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \) для упрощения корня.

  • Шаг 1: Сократим показатель корня (4) и показатель подкоренного выражения (2) на 2: \( \sqrt[4]{\left(\frac{1}{25}\right)^2} = \sqrt[2]{\left(\frac{1}{25}\right)^1} = \sqrt{\frac{1}{25}} \).
  • Шаг 2: Вычислим квадратный корень: \( \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5} \).

Ответ: \( \frac{1}{5} \).

4) \( \sqrt[8]{225^4} \)

Используем свойство \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \) для упрощения корня.

  • Шаг 1: Сократим показатель корня (8) и показатель подкоренного выражения (4) на 4: \( \sqrt[8]{225^4} = \sqrt[2]{225^1} = \sqrt{225} \).
  • Шаг 2: Вычислим квадратный корень. Известно, что \( 15^2 = 225 \): \( \sqrt{225} = 15 \).

Ответ: \( 15 \).

Что применять при решении

Определение арифметического корня n-й степени
Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Число \(a\) называется подкоренным выражением.
Если \( a \ge 0 \), \( n \ge 2 \) — натуральное число, то \( \sqrt[n]{a} = b \) означает, что \( b \ge 0 \) и \( b^n = a \).
Корень нечётной степени из отрицательного числа
Для любого нечётного натурального числа \( 2k + 1 \) и \( a < 0 \) уравнение \( x^{2k + 1} = a \) имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Корень нечётной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа \( |a| \) следующим равенством:
\( \sqrt[2k + 1]{-a} = -\sqrt[2k + 1]{|a|} \)
Свойства арифметического корня n-й степени (\( a \ge 0, b \ge 0 \))
Основные свойства для преобразования выражений с корнями.
  • 1. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)
  • 2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) (при \( b \ne 0 \))
  • 3. \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
  • 4. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
  • 5. \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \)
Корень чётной степени из степени
Для любого значения \( a \) справедливо равенство, если показатель корня чётный:
\( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), где \( k \) — натуральное число.

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 4

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.