Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 4 / Задание 53

ГДЗ: Упражнение 53 - § 4 (Арифметический корень натуральной степени) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
Глава: Глава 1
Параграф: § 4 - Арифметический корень натуральной степени
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

53 упражнение:

Доказать, что:

1) \( \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} = 2 \)

Используем формулу \( \sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + C}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - C}{2}} \), где \( C = \sqrt{A^2 - B} \). В нашем случае \( A \pm 2 \sqrt{B} \), то есть \( 4 \pm \sqrt{12} \).

  • Шаг 1: Упростим подкоренные выражения, используя формулу \( \sqrt{(a \pm b)^2} = |a \pm b| \). Ищем числа \( a, b \) такие, что \( a^2 + b^2 = 4 \) и \( 2 a b = 2 \sqrt{3} \).
    Из \( 2 a b = 2 \sqrt{3} \) следует \( a b = \sqrt{3} \). \( a^2 + b^2 = 4 \).
    Если \( a = \sqrt{3} \) и \( b = 1 \), то \( a^2 + b^2 = 3 + 1 = 4 \). Подходит.
  • Шаг 2: Упростим первое слагаемое: \( \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = |\sqrt{3} + 1| = \sqrt{3} + 1 \).
  • Шаг 3: Упростим второе слагаемое: \( \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = |\sqrt{3} - 1| \). Так как \( \sqrt{3} > 1 \), то \( |\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1 \).
  • Шаг 4: Вычислим разность: \( (\sqrt{3} + 1) - (\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} + 1 = 2 \).

Ответ: Доказано, что \( \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} = 2 \).

2) \( \sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}} = 3 \)

Пусть \( x = \sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}} \). Возведём обе части в куб, используя формулу \( (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3 a b (a + b) \).

  • Шаг 1: Применим формулу куба суммы:
    \( x^3 = (\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}})^3 + (\sqrt[3]{9 - \sqrt{80}})^3 + 3 \sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}} (\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}}) \).
  • Шаг 2: Упростим:
    \( x^3 = (9 + \sqrt{80}) + (9 - \sqrt{80}) + 3 \sqrt[3]{(9 + \sqrt{80})(9 - \sqrt{80})} \cdot x \).
  • Шаг 3: Вычислим сумму и произведение под корнем:
    \( (9 + \sqrt{80}) + (9 - \sqrt{80}) = 18 \).
    \( (9 + \sqrt{80})(9 - \sqrt{80}) = 9^2 - (\sqrt{80})^2 = 81 - 80 = 1 \).
  • Шаг 4: Подставим значения:
    \( x^3 = 18 + 3 \sqrt[3]{1} \cdot x = 18 + 3 x \).
  • Шаг 5: Решим кубическое уравнение \( x^3 - 3 x - 18 = 0 \).
    Подбором находим корень \( x = 3 \): \( 3^3 - 3(3) - 18 = 27 - 9 - 18 = 0 \).
    Так как \( x \) — сумма двух положительных чисел, то \( x > 0 \). Уравнение имеет единственный действительный положительный корень.

Ответ: Доказано, что \( \sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}} = 3 \).

Что применять при решении

Определение арифметического корня n-й степени
Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Число \(a\) называется подкоренным выражением.
Если \( a \ge 0 \), \( n \ge 2 \) — натуральное число, то \( \sqrt[n]{a} = b \) означает, что \( b \ge 0 \) и \( b^n = a \).
Корень нечётной степени из отрицательного числа
Для любого нечётного натурального числа \( 2k + 1 \) и \( a < 0 \) уравнение \( x^{2k + 1} = a \) имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Корень нечётной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа \( |a| \) следующим равенством:
\( \sqrt[2k + 1]{-a} = -\sqrt[2k + 1]{|a|} \)
Свойства арифметического корня n-й степени (\( a \ge 0, b \ge 0 \))
Основные свойства для преобразования выражений с корнями.
  • 1. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)
  • 2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) (при \( b \ne 0 \))
  • 3. \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
  • 4. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
  • 5. \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \)
Корень чётной степени из степени
Для любого значения \( a \) справедливо равенство, если показатель корня чётный:
\( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), где \( k \) — натуральное число.

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 4

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.